Ausmultiplizieren und Faktorisieren – Klasse 7: Übungen, Beispiele und Erklärungen
Das Kapitel „Ausmultiplizieren und Faktorisieren“ gehört zu den zentralen Themen der Algebra und ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Klasse 7. Diese beiden Techniken helfen dir, Terme zu vereinfachen und mathematische Zusammenhänge besser zu verstehen.
Ein Beispiel hierfür ist:
(x+3)(x−2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6
x² − 9 = (x+3)(x−3)
In diesem Kapitel findest du:
- Erklärungen zu den Grundlagen von Ausmultiplizieren und Faktorisieren.
- Schritt-für-Schritt-Beispiele, um die Methoden besser zu verstehen.
- Übungen und Aufgabenblätter, mit denen du dein Wissen testen und vertiefen kannst.
Ob für den Unterricht, zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten oder einfach zum Üben: Mit den hier vorgestellten Inhalten wirst du sicher im Umgang mit dem Ausmultiplizieren und Faktorisieren. Viel Erfolg!
Grundlagen des Faktorisierens
Was ist Faktorisieren?
Das Faktorisieren ist der umgekehrte Prozess des Ausmultiplizierens. Es bedeutet, einen Term in seine Faktoren zu zerlegen. Das Ziel ist, den Term so darzustellen, dass er als Produkt von Klammern oder Zahlen geschrieben werden kann.
Beispiel:
x² − 9 wird zu (x+3)(x−3).
Techniken des Faktorisierens
- Ausklammern:
Der größte gemeinsame Faktor (ggT) wird aus allen Termen ausgeklammert.
Beispiel:
3x + 6 = 3(x+2)
Hier ist 3 der ggT der Terme 3x und 6. - Faktorisierung mit binomischen Formeln:
Die binomischen Formeln können genutzt werden, um Terme in Faktoren zu zerlegen.
Beispiele:- x² + 6x + 9 = (x+3)² (1. Binomische Formel)
- x² − 9 = (x+3)(x−3) (3. Binomische Formel)
- Gruppieren von Termen:
Bei vier oder mehr Termen können sie in Gruppen unterteilt werden, um gemeinsame Faktoren auszuklammern.
Beispiel:
x³ + x² + 2x + 2 = x²(x+1) + 2(x+1) = (x²+2)(x+1). - Quadratische Terme zerlegen:
Quadratische Terme der Form ax² + bx + c können durch Zerlegen des Mitteltterms faktorisieren:
Beispiel:
x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
Typische Anwendungen des Faktorisierens
- Lösen von Gleichungen:
Faktorisieren hilft, Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen.
Beispiel:
x² − 9 = 0 wird zu (x+3)(x−3) = 0.
Lösungen: x = −3 und x = 3. - Vereinfachung von Brüchen:
Faktorisierte Terme können genutzt werden, um algebraische Brüche zu vereinfachen.
Grundlagen des Ausmultiplizierens
Was ist Ausmultiplizieren?
Das Ausmultiplizieren ist eine grundlegende Technik der Algebra. Es bedeutet, Klammern aufzulösen, indem jeder Term innerhalb der Klammer mit jedem Term außerhalb der Klammer multipliziert wird. Dadurch werden Terme erweitert und vereinfacht.
Beispiel:
a(b+c) = ab + ac
Das nennt man das Distributivgesetz, eine wichtige Regel beim Ausmultiplizieren.
Weitere Beispiele:
- 2(x+3) = 2⋅x + 2⋅3 = 2x + 6
- (x+4)(x−2) = x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8
Regeln und Techniken beim Ausmultiplizieren
- Das Distributivgesetz:
Das Distributivgesetz besagt, dass ein Term vor einer Klammer auf alle Terme in der Klammer verteilt wird:
a(b+c) = ab + ac.Beispiel:
3(x+2) = 3⋅x + 3⋅2 = 3x +6. - Das Distributivgesetz bei zwei Klammern:
Wenn zwei Klammern multipliziert werden, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert:
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc +bd.Beispiel:
(x+1)(x+2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2. - Vorzeichen beachten:
Achte auf positive und negative Vorzeichen.
Beispiel:
(x−3)(x+2) = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6.
Kostenlose Aufgabenblätter zu Ausmultiplizieren und Faktorisieren – Klasse 7
In diesem Abschnitt findest du eine Sammlung von kostenlosen Aufgabenblättern zum Thema Ausmultiplizieren und Faktorisieren für die Klasse 7. Jede PDF enthält verständliche Übungen und Lösungen, die dir helfen, dein Wissen zu vertiefen und dich optimal auf Klassenarbeiten vorzubereiten. Wähle ein Aufgabenblatt aus und starte direkt mit dem Üben!